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[0862] Das Schlafende-Yuna-Problem
└ gepostet am Monday, 20. February 2017, von Novil
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Oh nein, es ist Mathe. 🙁
Ist mir zu kompliziert.
Wer kennt die Lösung? 🙂 😉
Nun, wenn heute Dienstag ist, dann ist P(Kopf)=0%.
Wenn heute Montag ist, ist P(Kopf)=50%.
Da Yuna aber nicht weiß, ob heute Montag oder Dienstag ist, haben wir ein Problem.
Gehen wir davon aus, dass es gleich-wahrscheinlich Montag oder Dienstag ist, so ist P(Montag)=50% und P(Dienstag) auch 50%.
P(Montag,Zahl) =1/2*1/2=1/4=25%
P(Montag,Kopf) =1/2*1/2=1/4=25%
P(Dienstag,Zahl) =1/2*1=1/2=50%
P(Dienstag,Kopf) =1/2*0=0=0%
Die Wahrscheinlichkeit das die Münze Kopf zeigte ist also 25%+0%=25%.
@ DaB.:
Und was ist mit der Tatsache, dass die Münze noch gar nicht geworfen wurde – es also auch Sonntag sein könnte?
@ DaB.:
Sie wird aber zweimal befragt wenn die Münze Zahl zeigt, und nur einmal wenn die Münze Kopf zeigt. Die Wahrscheinlichkeit ist dann, glaub ich, 1/3 (wenn das Experiment durchgeführt wird).
50%
Die Münze wurde nur einmal geworfen, dabei ist entweder Kopf oder Zahl rausgekommen. Lassen wir mal die Umweltfaktoren aussen vor beträgt die mathematische Wahrscheinlichkeit beider Wurfergebnisse 50%. Der aktuelle Zeitpunkt ist Komplett unbedeutend da er unbekannt ist und keine auswirkung auf die Wahrscheinlichkeit eines Münzwurfs hat.
Am Rande:
Die Aktuelle Befragung findet zu 75% am Montag und zu 25% am Dienstag statt.
Es ist 100% Montag. Welche Mutter würde schon ihr Kind für so ein Experiment schwänzen lassen (auch wenn das Kind gern in die schule geht & die geschwänzte zeit nicht genießen kann)
Zu der Wahrscheinlichkeit eines fairen Münzwurfes: es sind 50%. Egal ob es Montag, Dienstag oder Mittwoch ist.
Zu der Wahrscheinlichkeit des Tages: Da man bei “Kopf” zu 100% am Montag befragt wird, während man bei “Zahl” zu 50% am Montag und zu 50% am Dienstag befragt wird, leiten sich die Wahrscheinlichkeiten so ab:
0.5*1 + 0.5*0.5 = 0.75 für “Montag”
0.5*0 + 0.5*0.5 = 0.25 für “Dienstag”
Aber das gemeine ist: Die Frage “Bist Du dir da sicher” ist immer gefährlich, selbst wenn man sich sicher ist – weil man sich danach nicht mehr so sicher ist.
Ich bin dafür, dass heute Montag ist!
Und das weiß ich deswegen so genau weil ich nicht von meiner Mama sondern von meinen Quälgeistern geweckt worden bin! 🙂
@ Gomes:
Ach ja…
ich würde auch sagen es sind 50%!
Denn wenn die Münze Kopf zeigen soll (also Montag sein soll) dann ist es der erste Wurf und somit 50%. Ist aber jetzt nur eine Theorie… 😉
poko schrieb:
Eher: Oh nein, es ist Statistik.
Also: Für den Münzwurf kann man immer 50 % annehmen.
Da somit allerdings es gleich wahrscheinlich ist, ob sie einmal oder zweimal aufgeweckt wird, ist die Wahrscheinlichkeit für Montag bei 2/3, für Dienstag bei 1/3.
Oder?
Wenn aber die Münze noch am Tisch liegt, dann ist Sonntag… 😉
100% Kopf.
Sie gehen nachschauen, ob Kopf oder Zahl. Dann wird das Experiment frühzeitig beendet und Luna geht zur Schule.
Für alle die das Rätsel lösen wollen. Es wird sehr ausführlich im Spiel “Zero Time Dilemma” behandelt.
@ Die Unsoziale:
Kann man ausschließen. Dann wäre Yuna längst auf 😀
Es ist zu 37,5% Kopf
Überlegung 1:
– Wenn Montag ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit auf Kopf 50:50
– Wenn Dienstag ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit auf Kopf 0 (es kann nicht Kopf sein, sonst wäre Yuna nicht geweckt worden)
Überlegung 2:
– Die Wahrscheinlichkeit dass Kopf oder Zahl geworfen wurde ist 50:50
– In den 50% mit Kopf ist es auf jeden Fall Montag
– In den 50% mit Zahl kann es gleichwahrscheinlich Montag oder Dienstag sein
– Demnach ist insgesamt die Wahrscheinlichkeit 75% für Montag und 25% für Dienstag
Wenn wir beide Überlegungen kombinieren ergeben, teilen sich die 75% für Montag nochmal auf und es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
– 37,5% für Montag mit Kopf
– 37,5% für Montag mit Zahl
– 25% für Dienstag mit Zahl
Wenn Yuna geweckt wird, ist die Chance auf Kopf also 37,5%
Lasst euch doch nicht so verwirren. Die Antwort lautet 50%. alles andere sind nur praktisch nutzlose Infos, um euch zu verwirren.
Ob Mo oder Di ist, ist hierfür bedeutungslos, die Frage wurde einzig und allein nach der Wahrscheinlichkeit von Kopf gestellt.
@Waltikon: Mo oder Di ist eben nicht egal, denn am Dienstag ist die Chance auf Kopf nicht 50% sondern 0%.
Das ganze nennt sich Sleeping Beauty Problem und hat auch einen Wikipedia-Artikel: https://en.wikipedia.org/wiki/Sleeping_Beauty_problem
Sowohl 1/3 als auch 1/2 sind gueltige Antworten, es haengt davon ab, was man als Wahrscheinlichkeit betrachtet.
Ich halte 1/3 fuer die natuerlichere Antwort. Stellt euch vor, Yuna bekommt Geld, wenn sie den Muenzwurf richtig raet. Was wird sie raten? Natuerlich Zahl. Weil sie (als Erwartungswert) haeufiger mit Zahl geweckt wird als mit Kopf.
Stichwort: Bedingte Warscheinlichkeit🙂
Ich habe meine Überlegungen von vorhin (37,5% für Kopf) nochmal überdacht.
Da sagte ich “Wenn Montag ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit auf Kopf 50:50”. Das klingt logisch, denn am Montag werde ich auf jeden Fall geweckt.
Allerdings hatte ich in Überlegung 2 dass die Wahrscheinlichkeit für Montag/Kopf bei 50% und für Montag/Zahl und Dienstag/Zahl je bei 25% liegt. Wenn ich also wüsste dass Montag ist, wäre die Wahrscheinlichkeit für Kopf doch nicht 50:50, sondern 50:25 (oder zwei Drittel). Wenn ich nun die Schlußfolgerung mache (Mit 75% Wahrscheinlichkeit ist Montag, und davon ist mit zwei Drittel Wahrscheinlichkeit Kopf), dann bleiben noch 50% Wahrscheinlichkeit für Kopf – und nicht 37,5 wie ich zuerst dachte.
Mathematisch ist die Wahrscheinlichkeit also 50:50
Doch in der Praxis? Wie machen 100 Durchgänge, 50x kommt Kopf, 50x kommt Zahl. Man wird 50x bei Kopf geweckt und 100x bei Zahl (je 50 mal am Mo und Di). Also ist nur in einem Drittel der Fälle Kopf richtig und nicht bei der Hälfte. Mist.
@ Redenhalter:
Das »Problem« an der Aufgabe ist der Fall »Zahl«, also ob man diesen Fall einmal oder zweimal rechnet.
Da »Yuna« im Fall »Kopf« immer einmal, im Fall »Zahl« immer zweimal befragt wird, stehen meiner Meinung nach die Chancen für »Montag« bei 2/3, für »Dienstag« bei 1/3.; obwohl natürlich die Chancen für »Kopf« und »Zahl« jeweils bei 1/2 liegen.
Es liegt aber anscheinend in der Natur der Aufgabenstellung, daſs es keine eindeutige Lösung hierfür gibt, da es mehrere unterschiedliche aber gleichermaßen logische Lösungsansätze gibt.
Deshalb hab’ ich Statistik immer gehasst (obwohl ich immer gut in Mathe war – der Statistik meistens aber entkommen bin).
Im Gegensatz zu Statistik ist differentiale Vektorgeometrie ein »Himmel auf Erden« 😉
@ Redenhalter:
Die Münze wurde Sonntags geworfen. die Chance beim Münzwurf ist 50:50. Und auch wenn Dienstag ist, war die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf gefallen ist, 50%. Yuna weiß btw gar nicht, ob Mo oder Di ist. Die Frage lautet: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das Kopf gefallen ist? die Antwort KANN nur lauten: 50%
@Waltikon: Aber stell dir mal vor, die Aufgabe sei nur geringfügig anders und der Montag wird gestrichen: Bei Kopf wird gar nicht gefragt, bei Zahl nur am Dienstag. Dann wäre die Wahrscheinlich dass am Sonntag Kopf geworfen wird zwar immernoch 50%, aber die Wahrscheinlichkeit bei der Befragung ist 0%, da bei Kopf keine Befragung stattfinden würde. Damit zeigt sich: Wahrscheinlichkeit beim Wurf und Wahrscheinlichkeit bei Fragestellung müssen nicht zwangsläufig identisch sein.
hmmm… ich glaub ich widerrufe meine Überlegung von gestern abend. Wenn man nicht weiß welcher Tag ist, ist Montag/Kopf wahrscheinlicher als Montag/Zahl. Aber wenn man weiß dass Montag ist, dann ist Kopf oder Zahl wieder gleichwahrscheinlich… und ich käme wieder auf 37,5% wie am Anfang. Mein Gehirn käst.
Das ganze ist aber auch vertrackt, da sehr ähnliche Fragestellungen unterschiedliche Antworten bringen.
z.B. “Wie hoch ist im Verhältnis die Wahrscheinlichkeit dass beim Wecken Montag ist?” Das hatte ich ja schon berechnet:
Zu 50% ist Kopf gefallen, dann ist auf jeden Fall Montag, zu 50% ist Zahl gefallen, dann kann gleichwahrscheinlich Montag oder Dienstag sein. Demnach insgesamt 75% Montag, 25% Dienstag. Die Wahrscheinlichkeit dass Montag ist ist also dreimal so hoch.
Eine auf den ersten Blick sehr ähnliche Frage wäre: “Wie hoch ist im Verhältnis die Wahrscheinlich dass ich am Montag geweckt werde?”
Am Montag werde ich auf jeden Fall geweckt, also 100% Wahrscheinlichkeit. Am Dienstag werde ich nur bei Zahl geweckt also 50%. Die Wahrscheinlich dass ich am Montag geweckt werde ist also doppelt so hoch (und nicht dreimal wie bei der vorherigen Frage).
Wieso ist also die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wecken Montag ist dreimal so hoch im Vergleich zu Dienstag, die Wahrscheinlichkeit am Montag geweckt zu werden aber doppelt so hoch im Vergleich zu Dienstag? Das ist schon sehr verwirrend.
Irgendwie erinnert mich das Problem an das Monthy-Hall-Problem (Benannt nach Monthy Hall, dem Moderator der US-Serie Let’s make a deal! – im deutschen TV hieß die Sendung Geh aufs Ganze!):
Bei dem Spiel mit den drei Toren steigt dort die Wahrscheinlichkeit den Hauptpreis zu gewinnen von 1/3 auf 2/3, wenn man das Tor wechselt – wofür man dann auch noch Geld bekommt.
Man braucht echt den Hinweis, daſs Yuna wirklich jedes mal einzeln gezeichnet ist – so fällt das wirklich nicht auf.
Das ist eine Falle für Leute die zu viel Denken
Die Münze wird einmal geworfen.
Die Wahrscheinlichkeit ist 50/50.
Weder der Tag noch die Häufigkeit der Befragung ändert was an diese Tatsache…..
Die beiden Ziegen sehe ich … aber wo ist das Auto? 😉
das ganze ist eine Variante des Ziegenproblems.
Zwar ist die Wahrscheinlichkeit des Münzwurfes 50%.
Aber die Frage für Yuna lautet eigentlich wie Wahrscheinlich ist es dass ich wegen Zahl bzw Kopf gewckt wurde.
Spielen wir das Ecperiment nicht einam sondern 10 mal durch und gehen davon aus dass 5 mal Zahl und 5 mal Kopf gekommen ist dann wird Yuma 5 mal Geweckt und es wurde Kopf geworfen bzw siw wurde 10 mal Geweckt und es wurde Zahl geworfen. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf 1/3 und für Zahl 2/3
Wie auch immer man es sieht, es ist wohl die beste Lösung, einen matheliebenden morgenmuffel schnell aus den federn zu bekommen. XD
Ich habe ein kleines Programm geschrieben, daſs das Ganze ausprobieren soll.
Zu meiner Überraschung kommt dabei eine »Trefferquote« von etwa 75 % raus.
Für die, die Interesse haben, im Folgenden die »Experiment-Funktion« (diese gibt die Anzahl der »richtigen« Antworten zurück – janein() ist eine Hilfsfunktion, die zu 50 % wahr oder falsch zurückgibt) eine andere Implementation hat sicherlich wieder ein anderes Ergebnis:
unsigned experiment()
{
bool kopf{janein()};
if (kopf) { // Befragung nur Mo
if (janein() == kopf) {
return 1;
} else {
return 0;
}
} else { // Befragung Mo und Di
bool eins{janein() == kopf};
bool zwei{janein() == kopf};
if (eins && zwei) {
return 2;
} else if (eins || zwei) {
return 1;
} else {
return 0;
}
}
}
Nachtrag:
Ich hatte einen »Bug« mit dem Aufruf der Funktion – bei Zahl wird ja zweimal gefragt. Jetzt kommen ca. 50 % raus.
Aber ich frag’ mich, ob ich tatsächlich das programmiert hab’, was ich wollte ^^°
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, am Sonntag geweckt zu werden?